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2015山东公务员考试行测技巧：数量关系容斥原理

2015-03-03 09:08:37 文章来源：山东公务员考试网

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　　对公务员考试行测中数学运算各个题目进行整理，有一类是“容斥原理”问题，主要包括两集合问题和三集合问题，此类问题是每年必考的题型，现在对此类题目进行汇总。

　　1、公式法：适用于条件与问题都可直接代入公式的题目。利用公式法解决问题时要注意公式中每个字母所代表的含义，这是考生经常容易出错的地方。

　　(1)两个集合：

　　涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单，可以按照下面公式代入计算：

　　“都”是指满足该条件的集合数。

　　(2)三个集合：

　　︱A∪B∪C︱=︱A︱+︱B︱+︱C︱-︱A∩B︱-︱B∩C︱-︱C∩A︱+︱A∩B∩C︱

　　2、韦恩图法：用图形来表示集合关系，变抽象文字为形象图示。因其具有直观性，便捷性和可行性，因此推荐首选文氏画图解题。

　　例1、对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有(　　)。(2005年国家公务员考试一卷行测第45题)

　　A.22人 B.28人 C.30人 D.36人

　　解析：设A=喜欢看球赛的人(58)，B=喜欢看戏剧的人(38)，C=喜欢看电影的人(52)，则有：

　　A∩B=既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18)

　　B∩C=既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16)

　　A∩B∩C=三种都喜欢看的人(12)

　　A∪B∪C=看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)

　　由集合运算公式可知：

　　C∩A=A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C)

　　=148-(100+18+16-12)=26

　　所以，只喜欢看电影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C

　　=52-16-26+12

　　=22

　　注：这道题运用公式运算比较复杂，运用文氏画图法我们很快就可以看出结果。文氏解法如下：

　　由题意知：(40-x)+x+(36-x)+6+12+4+16=100，解得 x=14; 则只喜欢看电影的人有 36-x=22。

　　例2、外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有(　　)。(2005年国家公务员考试二卷行测第45题)

　　A.4人　　　B.5人　　　C.6人　　　D.7人

　　解析：首先采用公式法解决此题，设A=英语教师(8+5+4-2=15)，B=法语教师，C=日语教师(6+5+3-2=12)，(但应注意的是在做题之前，我们首先必须了解公式中A,B,C三个集合所代表的含义，并非A=8,C=6.)，则

　　C= A∪B∪C-A-C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C

　　=27-15-12+5+3+4-2=10，那么只能教法语的教师=10-3-4+2=5

　　另外，此题如果用韦恩图法会相当简单，设只能教法语的人数为X,则依题意得韦恩图(见下图)：

　　由题意我们有 27=8+3+6+2+2+1+X, 解得X=5。

　　例3、某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人?( )(2010年国家公务员考试行测第47题)

　　A.120　　　B.144　　　C.177　　　D.192

　　解析：同上，我们可以直接利用三个集合并的运算来解决这个集合问题，公式如下：

　　A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C, 但是这里的“准备选择两种考试都参加的有46人”并不是我们所说的A∩B+A∩C+B∩C， A∩B+A∩C+B∩C中还包含着选择三种考试的人即A∩B∩C，因此A∩B+A∩C+B∩C=46+ A∩B∩C*3=118，这样A∪B∪C= 63+89+47-118+24=105，总人数为105+15=120.

　　另外我们也可以用韦恩图：