山东公务员考试行测辅导:同余问题中的剩余定理(2)

　　因为M=3×5×7可被它的任一因子整除，于是又有：

　　这里P是整数。这就证明了《孙子算经》的公式。应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数N，分别被两两互素的几个数a1、a2、……an相除得余数R1、R2、……Rn，即

　　N≡Ri(modai)(i=1、2、……n)，

　　只需求出一组数Ki，使满足

　　那么适合已给一次同余组的最小正数解是

　　(P是整数，M=a1×a2×……×an)，这就是现代数论中著名的剩余定理。如上所说，它的基本形式已经包含在《孙子算经》“物不知数”题的解法之中。不过《孙子算经》没有明确地表述这个一般的定理。

　　剩余定理的原理比较繁琐，不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题。下面给出一些例题，对剩余定理的解题方法加以熟练:

　　【例1】一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是多少?

　　【解析】题中3、4、5三个数两两互质。

　　则〔4，5〕=20;〔3，5〕=15;〔3，4〕=12;〔3，4，5〕=60。

　　为了使20被3除余1，用20×2=40;

　　使15被4除余1，用15×3=45;

　　使12被5除余1，用12×3=36。

　　然后，分别乘以他们的余数：40×1+45×2+36×4=274，

　　因为，274>60，所以，274-60×4=34，就是所求的数。

　　【例2】一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是多少?

　　在1000内符合这样条件的数有几个?

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